Почему среднее из многих кривых чисел снова выглядит «колоколом»

Ждёшь автобус — интервалы сильно скошены вправо: чаще короткие, иногда очень длинные. Кажется, из такого распределения «нормальный колокол» не получится. Центральная предельная теорема говорит иначе: среднее многих независимых одинаковых величин с конечной дисперсией всё равно становится примерно нормальным. Возьми экспоненциальное с средним 1 (дисперсия тоже 1). Медиана ≈ 0,693: больше половины значений меньше среднего. Скошенность равна 2 — хвост вправо заметный. Мы проверили на Python 3.13 (seed 20261011, по 20 000 прогонов): — одиночные числа: среднее ≈ 1,00, но ниже 1 лежит ≈ 63%; — средние из 30 независимых: среднее ≈ 1,00, стандартное отклонение ≈ 0,182 (теория: 1/√30 ≈ 0,183); — в интервале 0,817...1,183 (± одно σ вокруг 1) попало ≈ 68,5%; — в ± два σ — ≈ 95,7%; — скошенность средних упала до ≈ 0,37 (теория: 2/√30 ≈ 0,365). Одиночные — кривой хвост. Средние из тридцати — почти симметричный колокол вокруг 1, а доли «внутри одной/двух сигм» близки к правилу 68–95. Интуиция: разброс среднего сжимается как 1/√n, а асимметрия — тоже примерно как 1/√n. Чем больше независимых слагаемых, тем слабее «кривизна» исходного закона. Где это встречается в учёбе и IT: — опросы и оценка среднего: доверительный интервал часто строят так, будто среднее уже почти нормально; — A/B-тесты: разницу средних конверсий при большом n сравнивают через нормальную аппроксимацию; — усреднение шумных измерений датчика; — оценка времени ответа по многим независимым запросам (если хвосты не бесконечные). Оговорка: нужны независимость и конечная дисперсия. Зависимые ряды, очень тяжёлые хвосты и «магическая» n = 30 без проверки — слабые места. Для сильно скошенных данных иногда нужно больше наблюдений, чем тридцать. Проверь ширину σ в одну строку: round(1 / 30**0.5, 4) Ответ: 0.1826. Короче: исходное распределение может быть кривым. Среднее из многих независимых одинаковых величин — уже почти колокол. Поэтому в статистике так часто появляется нормальный закон. #физмат